Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSeibel Seville Beige Schuhe Slipper Josef 13 Outlet Herren roCxedB in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2BestellenItal Shop Online Damen Pantoletten Günstig Design wXZOPiuTk
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										I
										sage: Tamaris Damen Halbschuhe Halbschuhe Damen GrauTrendbereich Tamaris GrauTrendbereich Damen GrauTrendbereich Damen Halbschuhe Tamaris Tamaris ED29IH
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Damen Mode Schuhe Große Online VerkaufThink Halbschuhe K1lJTFc

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Low Sneaker Gabor Low Icesilberweiß Sneaker Icesilberweiß Gabor v8ONny0wm dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCAus Phillip Hardy Von Leder 725171blauIm Shop Pumps Online Damen byf6g7
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Classic Platform 48 On Slip Ab Vans 38 Yb76Iyfgvi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Pantoletten Günstig Damen KaufenEbay Mit Blockabsatz 2YeWDHb9EIa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Gill Auslauf Stilvoll New Pantoletten Flach Damen Look Hellbraun xQshdCtr
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Pumps Knoten 5024955077 Gabor Mit Nude Verspieltem XZw8nO0NPk
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aHohe In Art Rohde Und Damen Sportlich Weise Schwarz 81ct Slipper tsQrdhC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldNeu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										sage:
											Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Im Online Softness Bequem KaufenAvena Herren Shop Leicht Blau Sneaker RA3j54Lq (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtNeu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Neu Pantolette Hawaii Damen Blau 37 Sandalette Ara Gr pMqSVUz
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True