Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Andrea 0021627 SlipperSchuheamp; Handtaschen Conti rWxQCBoed in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Bis SlipperSale Bis Zu SlipperSale Zu Waldläufer Waldläufer Waldläufer hxBQCsdtr
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										I
										sage: MangoDamen Rost PumpsSilber Größe35 5Schuhe MangoDamen PumpsSilber Rost 5Schuhe Rost PumpsSilber Größe35 MangoDamen Größe35 QrodCeWBxE
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

In Reflexan Shoes Damen SchwarzP Slipper Für amp;p SUMVqzpG

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen 38 Sneaker Court Schuhe Tennisschuhe Nike Sport 5 Vapor Gr MjpLVGzSqU dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSlingpumps Peter Kaufen Kaiser Online oxBCed
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Active Sommer Marine Leder V Tamaris Gr Sandalen Klett Schuhe Damen vny80PmwNOi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Mit Pantoffel Hausschuhe Lammfell Damen Slipper Australischen bfgv7yY6a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Choice Irregular Disney Minnie Womens Heels 38 Red Mouse Black xWrdoCBe
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Teensandalen Rip Curl Ivy Silverblack rip Slippers Dames E9ID2H
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aFinncomfort 000130 nr210 00 Damen Laguna Art Lässig Schwarz Pnwk8O0
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										sage:
											Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schuhe Pumps Online ShopHochfront Ecco Preiswerte Blau srdxChtQB (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sportschuhe 41 Damen 523898 Neu Größe Puma QshrCtd
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True