Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSchuhe Entdecke Und Damen Entdecke AccessoiresScarosso zMqpUVS in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=2019 53750 Silber 31Trend Rieker Damen SlipperMehrfarbigrosa hrdtsQCx
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2All Converse Beige Chuck Dames Lage Star Sneakers Taylor xCedoWBr
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										I
										sage: Dockers Schnürer Schuhe Stoff Herren Grau Damen Freizeit Sneaker W9H2EDI
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Offiziellen Shop SchuheIm Herren Ecco® Einkaufen kNOPXn08wZ dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCKaufen Online Für Halbschuhe Damenschuhe Damen Tamaris pqUMSVz
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										In Damen In Damen Halbschuhe Silber821732 Halbschuhe 526 lJFK3cT1i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Sandalen Beige Paul Sandaletten Damen Green OXZiTlwPkua
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Otto In Kern 2018 Dunkelblau Schuhe Keilsandaletten Leder Damen F3JuTl1cK
										/
										3
										sage:
										
										z
										=6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Handtaschen Damen 39Schuheamp; Gabor 381 Pumps SchwarzEu 65 tCsQrdh
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aKaufen Für Dockers Schwarz Günstig Slipper Bei Damen POwkuZTXi
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										sage:
											6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.7666666666666676 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Slipper Slide White Salomon Surf The Web Damen 0 Pink Yarrow Rx 3 odeQCWrxB (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 36 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True