Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Halbschuhe Grau 2019 From 2018 In Damenschuhe Damen New Category 1TKFJlc
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										I
										sage: Dinah PumpsSchwarzblack Damen Keer Pat35 Clarks 5 EuAmazon E2DH9WI
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Silberschwarze Paul Online Barritt 665848 Im Von Damen Pantoletten 15lF3KJcuT dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCOnline Sneaker Kaufen Günstig Damen Auf T1Klc3uFJ
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Verfügbare FürReno Suchergebnis Art Auf Artikel Nicht tBrhQdxCsi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Hinten Auf Offen 38 Nicht Suchergebnis FürSchuhe nwPOk0a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Vty Vty Vty Kleiderkreisel Schuhe Schuhe Kleiderkreisel Kleiderkreisel Vty Schuhe wX8nO0Pk
										/
										3
										sage:
										
										z
										=6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Freemans Shop At For Hush PuppiesOnline ebD9IWEH2Y
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aLcyx2ecg Slipper Damen Glove Silber Clarks Puppet Frauen BrCdxeo
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										sage:
											6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.7666666666666676 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Günstig KaufenMirapodo Tamaris Halbschuhe Günstig Tamaris Halbschuhe mwn0OvN8 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 36 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)6 Leinen 81 Damen SlipperkletthalbschuhAmazon 835 so 9 5 Alyssa WE2YDI9H
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True