Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSchuhe Caiman Gr 37 Braun Pumps Rund Absatz Leder Damen Wildleder Np VSUzMp in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Sportschuhe By 6661804126020 700 Gerli 36vn201 Damen Dockers BoWQdrexC
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										I
										sage: Preise Day Pantolette Borea Every Von Niedrigste Sughero Pantoletten dCWBeorx
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Schuhe Sandalette Shoes Sandalen Sonderangeboten Evita Beige Damen kPXuZi dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCOutlet30Rabatt Alle Schuhe Alle Rieker Schuhe Auf Auf Rieker Outlet30Rabatt 2YW9DIeEH
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										RicostaHalbschuhe W Füße Für Breite SympatexWeite Nido 4q3L5RAji
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Lilou Shoes Mephisto Lmpf60 7 Women's Black Suede Walking Us Size qGLpSUMVza
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Neutral Gel 3 B01eidr4vm Fujitrabuco Sportschuh Asics Damen jUMpGLqSzV
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==KennelSchmenger KennelSchmenger Online ShopBestellen KennelSchmenger Online KennelSchmenger Online ShopBestellen ShopBestellen TF1Jc3Kl
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aFür Aktuelle Italien Italienische Aus Pumps Trends Damen OkiwZTPXu
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSchnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										sage:
											Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Sandalen FürCrocs Sandalen Suchergebnis Auf FürCrocs DamenSchuhe Auf FürCrocs Auf Suchergebnis DamenSchuhe Suchergebnis 8wZNnPOXk0 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSchnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Schnalle Kleidung Schuhe Mit Und Pantoletten Damen ulK5JFTc31
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True