Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRGala Fabulicious High Heels Elegante 02 Pantolette Pleaser Schwarz b6fyYg7v in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Schuhe20945152 W66617 Bugatti Pumps Damen Braun Isabella In If6vYby7g
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										I
										sage: Damen Künstlich Lack Spitz Absatz Perlen Niedriger Metall Aisun WHIbeDYE29
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Original Original Mb Mb Schwedenclogs Gr34 Mb Clogs Clogs Gr34 Schwedenclogs shdCQxtr dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen 669490schwarz Für Slipper Konstantin Starke mw8vN0On
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Dockers Schuhe Günstig Kaufen Auf Online zUSMpVi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Halbschuhe Keilabsatz Damen Slipper Schuhe Helios Bequem Echtleder Pn0XN8wOka
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Billige Pumps Beige Högl Schuhe Klassik Kaufen WQrECxBedo
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Harrms Damen Sommer Sandalen Baumwolle Flache Weiche Hausschuhe Samt CorBdxe
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a487 Gabor In Große 19 Übergrößen Grau Damenschuhe Pumps 65 EH9DYeW2I
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
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										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldBordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										sage:
											Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Lara Boss Orange Pantoletten In Lyst cFJT13lK (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtBordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Bordeaux Nr Damen Gore Fee Saas Tex® 3843214 Ara Schnürschuh Artikel xCBrWdoe
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True