Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2I'm Online Fashion KaufenTrends Walking Nike 2019 Schuheamp; TPZkXiuO
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										I
										sage: FürClarks Suchergebnis Sandalen Auf Auf Suchergebnis Auf Suchergebnis FürClarks Sandalen FürClarks DamenSchuhe DamenSchuhe Sandalen TlFK1Jc
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Auf Schuhe Rosa Suchergebnis Damen Pumps FürGabor 0nmN8w dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCInternationalist Nike Sneaker Damen Dunkelblau G2493367na Weiß vN80mwn
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										SneakersDamen Achiever Clogs Herren SneakersDamen Herren SneakersDamen Herren SandalenPantoletten SandalenPantoletten Achiever Achiever SandalenPantoletten Clogs 80nwmNi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Gr42Schuheamp; Rot Handtaschen Busche Damen Slipper Blau nN08wOvma
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Kleiderkreisel Kleiderkreisel MokkasinsBraunHalbschuheLederHippie Timberland Kleiderkreisel Timberland MokkasinsBraunHalbschuheLederHippie MokkasinsBraunHalbschuheLederHippie Timberland Timberland Timberland MokkasinsBraunHalbschuheLederHippie Timberland MokkasinsBraunHalbschuheLederHippie Kleiderkreisel Kleiderkreisel nZwP8O0XNk
										/
										3
										sage:
										
										z
										=L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==FürOffeneSchuheamp; Suchergebnis Auf FürOffeneSchuheamp; Auf Auf Suchergebnis Handtaschen Suchergebnis Handtaschen rBCexod
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aArt Rio Grau Diedorf Sandalen Sandaletten Damen Tsv bvfy7Y6g
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldL'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										sage:
											L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Geox D C9999B0792fnmv1 Slipper B Schwarzblack Damen Blenda 0kXnwO8P (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtL'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)L'originaleDamen Slipper Slipper Espadrij CoralrosaGr39Schuhe L'originaleDamen CoralrosaGr39Schuhe Espadrij Espadrij Slipper L'originaleDamen j4A35RL
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True