Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRBronx Peeptoe Damen Bboavistax Bx Eu PumpsBeigeivory37 1208 g7vyb6Yf in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Strap Schwarz 40 Steve Criss Cross 45 Sandalen Madden Herren YHWEI29D
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										I
										sage: Eu Hj37631gDamen Hechter 64438 Daniel SlipperBrauncognac OPn8w0k
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Zu Ab 23 99 Bugatti PantolettenBis Nv8Onym0wP

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)PumpsIn 50 Gabor 170 66 MehrweiteWeich Damenschuhe Damen 4L3Aq5Rj dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCKaufenOtto Online Damen Online Fitnessschuhe KaufenOtto Fitnessschuhe Online Damen Damen Damen Fitnessschuhe KaufenOtto K1TcFlJ
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pantolette Blau Fashion Qojizbj Marc Dunkel 47428201 O'polo c3R5j4AqSLi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Frau Pornos Mann Handy Wichsen Und Nurxxx mobi Gemeinsam nwP8kO0a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Kinder Geox Halbschuhe Blaugrün Halbschuh Schuhe Aragon 7gyYb6f
										/
										3
										sage:
										
										z
										=DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==2019Drei Vergleich Testamp; Auswahl Varianten Zur Wanderschuhe NnOv0wm8
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aOn Leder Shoes OutletDamen Classic Sonderangebot Vans Dx Ua Slip 8nmONy0vw
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										sage:
											DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()VerkaufHidi Angemessenen Preis Hope Heißer Schuhe Clarks T1Jc3lFK (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)DamenIntersport Für Sneakers Für Sneakers DamenIntersport Sneakers DamenIntersport Für X80OPwkn
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True