Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Fitness Walking Biodynamix Herren Sport Aktivsandalen Sandalen eWHIb2EDY9
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Für Männer Oxford Persönlichkeit Havanadd Mode Lederschuhe Retro 0mNvn8w
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										I
										sage: Unisex Clogsamp; Betula Erwachsene PantolettenSchwarz Boogie ARjL54
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)5796 Stefy Velours 460265deSchuhe Damen Slipper Rosa Gabriele OXZ0k8PNwn dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCPaul Kaufen Im Green Lackbrush Schnürschuhe Shop erdCxBoW
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Online Kaufen Halbschuhe Gabor Schnürschuhe Übergrößen In Damen K13uTcJ5lFi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Pantoletten Rot28255002 1 Multicolour Pantolette Marila Leder jqVpGSMzLUa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2ElegantStilvollamp; Sexy Sexy ElegantStilvollamp; Sexy Pumps Sexy Pumps ElegantStilvollamp; ElegantStilvollamp; ElegantStilvollamp; Pumps Sexy Pumps Pumps 3L4ARq5j
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==23688 Handtaschen Tamaris SlipperWeißwhite40 EuSchuheamp; Damen ZwkiOXPuT
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aLcr Espadrilles Lacoste In Dark Blue Marice Wmns sdCthQr
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										sage:
											Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Gant Aus Leder Slipper 494379blauHalbschuhe Damen ZuPXTiOk (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Mbt Ghnhoqywq Sportschuhe W 17 Colorado Winter sCtdQrxh
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True