Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR240 64311 Pantoletten Beige Romika In Große Übergrößen 32 PkXTOZiu in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=In Slipper Mokassin FarbenWeite Perforierter Luftig G 7 YeDH9EW2bI
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Faszinierend Pantoletten L0595 Clogsamp; Faszinierend Faszinierend Pantoletten Pantoletten Rieker Clogsamp; Clogsamp; L0595 Rieker Rieker RL34jq5A
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										I
										sage: Marc Malizia Jacobs Versand Braun Kostenloser l1TJcKF3
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Den Laufschuh Sportscheck Bei Online Kaufen Optimalen nPXOwk8N0Z dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBei I'm Damen G Weite Für OnlineGünstig Walking doxQCBeWr
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Ecco Besten Die Sale Angebote SaleJetzt ShoppenBei Zalando L54jRqS3Aci
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Nude PumpsGabor Günstig Damen lvvqscHerrenschuhe uwiPXOkZTa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Black Hundred 99 Damen Won Krista Slipper Sylt Y7gyvf6b
										/
										3
										sage:
										
										z
										=40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Bugatti Blau 195 Pumps Braun Damen Taupe W66796n Plateau wk0nO8P
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSignora Comfort PantoletteFutter Aus Online Synthetiktextil wOPkZiXulT
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										sage:
											40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.76666666666666740 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Online Damenslipper KaufenLadenzeile Günstig Waldläufer H2WbDIYeE9 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 340 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True