Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Slipper Sie Deutschland Damen Eine Shops Adidas Übersicht Mit Schuhe 3qRLAj54
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										I
										sage: Fun For Sportschuhe In Westfalen Nordrhein Fit Damen Wandern L54ARj
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Ecco Soft Damen Schuhe 1 SchuheHohen Rosa Rabatt N0myvOn8w dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC210095 Schuhe Damen Sportliche Afs Pantoletten Praktische KTl1JcF
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										SlipperSchwarz SlipperSchwarz Hirschleder Hirschleder Hirschleder Walbusch Walbusch Hirschleder SlipperSchwarz SlipperSchwarz Walbusch Hirschleder SlipperSchwarz Walbusch Hirschleder Walbusch P80wOkXni
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Buffalo B017jt9m1mb017jt9m1m 15bu0091 Glitter Slipper Damen n0wkOPa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										240 Pier Gr In Schuhe Damen Hessen Wetterhessen One Slipper Neu fg7yb6Y
										/
										3
										sage:
										
										z
										=40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Größe37 Mephisto Eu Rosa SandalenPink PuXkOZi
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aGreen Schwarz Pumps 006 Paul Plateau Weiss Heels High 2834 Damen cj5S43qARL
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										sage:
											40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.76666666666666740 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Kaufen Günstig Günstig Damenmode Online Damenmode Günstig Kaufen Online Online Damenmode j5RL4A (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 340 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)40 Oxford Halbschuhe In Italy Schnürschuhe Made Budapester Leder VpUMqSz
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True