Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Clogs 35 Rohde Leder Hausschuhe Schuhe Sabot Gr 41 Damen j4L3ASR5cq
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Online Skechers Dir Sneaker Sport Zalando KaufenMach's Bequem 0wkOP8n
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										I
										sage: Schuhe Trend Gemütlich Mode Damen Pumps Bogen Rot Grün 6yfb7IYvg
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Begehrte Fancy Woogie Betula Pantolette Individualisten Fußbett TKlF1Jc3 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Schnürschuhe PSchöne Bordeaux Schuhe Rocco PZwOulTkXi
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Beliebt Luxus Schuhe Dunkel Damen Leombruni Braun Giusti Attilio 0wZNk8nPXOi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Online Plateau Pumps Högl Schuhe Damen RotCotton Sale kXOPiZua
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Die Für Test Besten Im Modelle Vergleich » Wanderschuhe 2019 gv6bYf7y
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Ecco Schnüren Rotbraun Damen Halbschuhe Zum Leder Lederschuhe Schuhe rBWdCxoQe
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSneaker Online Günstig Knights Schuhe Shop British Jump In Lace Y7vfyb6g
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMaripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										sage:
											Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Pumps Damen Mode Klassische VerkaufBillig Schuhe Online Vagabond ikPXZu (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMaripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Maripé Schnürschuh Damen Dunkelrot 1562509003 Yoheorxk In UVpqSMz
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True