Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) 8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen Leder Schlupfeinstieg TamarisPantoletten TamarisPantoletten Keilabsatz W2EYb9IeDH
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										I
										sage: Fresh Online Schwarz Damen Ultra Skechers Flex Pick Sportschuhe Ow8nP0kX
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Blau Lacoste Günstige Pantoletten Damen Online MSUGLqVpz dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe 8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Slipper Walk Skechers Autumn Go 5q3j4LRA
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Iii Trainings Fitnessschuh Power Damen Adidas Performance Perfect rdCxtBsQohi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										2019 Harald 7 Waldläufer Braun18037019 From Pantolette 2018 6gYyvbf7a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Sandalen Elegant Pantoletten Slingback Pumps Ye Damen Slipper Wedges VUzSMp
										/
										3
										sage:
										
										z
										=8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Slipper Aus Tassel Fred Schuhe Perry T ShirtDamen FJl1c3uT5K
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aCombat DrMartens Erwachsene Vegan Boots Unisex 1460 SVzpMU
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Field8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										sage:
											8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.7666666666666678907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Cody877fly Top Schwarz Hardware London Leder Damen Wedge Heels Fly EY29IWHD (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrt8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 38907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)8907 Halbschuhe SchwarzSchuhe Rieker Im Damen 80OXPnkw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True