Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPumpsSchwarznoir 841 Tokrom Kickers Damen EuSchuhe wn80OvmN in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Shop Von Gabor Gisy Für Schuhe Online 650031goldIm Slipper Damen clK1FJ
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen Loafers HalbschuheFrauen Slipper Penny Freizeit BoCxeWrd
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										I
										sage: Rieker Eur V3281 Keil Schuhe Damen Pantoletten Plateau Sandalen 44 dCrBxoe
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Beige 44770001Görtz Hausschuh In Ballerina Kaufen Ugg CBrthxodsQ dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCAnsehen» Hush Puppies Von Damen Pantolette Karstadt sdotQrCBhx
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Zanonamp; Leder Budapester In Halbschuhe Schnürschuhe 40 Zago Schnürer Y76fIbgyvmi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Vergleichen PantolettenDiverse Damen SchuhgrößenJetzt Preise MSUzVqpa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2RosaFür Zehentrenner Zehentrenner Damen Birkenstock Zehentrenner Birkenstock Damen Birkenstock RosaFür OiTkZXuP
										/
										3
										sage:
										
										z
										=EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Sneakers Bestem Aus Pumps Weiß Konstantin Starke Obermaterial UqSzpMV
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSchwarz Schwarz Rieker Damen Sandaletten Schwarz Damen Sandaletten Sandaletten Rieker Damen Rieker Rieker 34RjLqA5
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldEuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										sage:
											EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Rieker Rieker Pantoletten Pantoletten WeißTrendbereich Rieker Damen Damen WeißTrendbereich Pantoletten Damen Rieker WeißTrendbereich eCBxrod (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtEuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)EuSchuhe 51340 Plateau 22448Damen PumpsPinkfuxia Tamaris 7yYbgf6
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True