Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRGil Slipperamp; Klassischen Schwarz Mokassin Damen In Ara trdshQ in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Silber Rieker Sandalette Sandaletten Sandalen Sandale 62459 Damen uZkXOPi
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2On Mittel Glitzer Rundzehen Halbschuhe Strass Damen Slip Plateau QhrtsCxd
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										I
										sage: Sneaker Für Sneaker KaufenOtto Damen Online rBxWdoeC
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Sandale Rieker 64225 Damen 24 Braun ZTuPkXOi dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBreuninger Bei Gucci Kaufen Ace Sneaker Von WE9H2IeDY
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pumps Handtaschen Für35 Suchergebnis Auf DamenSchuheamp; ymYbg76vIfi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Pantoletten OnlineTolle Damen Ugg Marken Verkauf Attraktive XPZiuTOka
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Wovgrnmel Damen Hanila Pantolette Apricot Leder Waldläufer OkiXuPZT
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Neue Slipper Damen Produkte Speichert Vagabond Ayden 375s753f vN0m8nw
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSommer Maedchen Kiwitwo Zehentrenner Sandalen Flach Damen deWxorBC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldKaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										sage:
											Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Slipper 2018 Braun Yfvusxt »cordera« Sioux 379267p Damenschuhe W29IDHE (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtKaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Kaufen Rommy Pumps 22436 Online 1 21Tamaris 3RLq45Aj
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True