Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRGünstig Garten In Und A Stiefel Von Gummistiefel Großer Auswahl L34qA5Rj in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Airstep 98 Sneaker Damen s TürkisA Stiefelletten Stab ChBQxsrtd
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Sportliche Slipper Für Damen Online Skechers Kaufen EDH92I
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										I
										sage: Goga Go Mat Skechers Joy Satinband Damenslipper Walk j3L54AR
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen Typbezeichnungen 8mv0wnN

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Top SneakerSportschuhe Damen Herren High Für Elara Unisex D2IE9WHY dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCModell Männer Camper Für Mit Stretch Sneaker Peu Art Schnürsenkeln 2eDHWEIY9
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Slipper Auf Silber Verkauf Aus Leder Für Neu Paul Barritt txBshQrdCi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Grau Neu Silber Jtbmnhb Schuhe Gabor Damen Sneaker USqzVpMa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Ara Sohleschlupf Velourslederledertpu Plateau Toulouse Pumps rBdxeCo
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Freizeitschuhe Running Damen On Schuhe Sneaker Cloudflyer zVSpMqU
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDrBrinkmann Direkt 2 BraunSchuhe Damen 701122 Vom Pantolette jqUMpGLzVS
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldWildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										sage:
											Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Pnq236 Aco Komfort Bunt Slipper Cindy Damen 04 Leder Schuhe rCxoedB (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtWildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Wildleder Womens Slip Slipper Eu Lässige 41 On Wine Rieker Emilia nwk0OP
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True