Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRoliver S Weiß Sandalen Farbe E4yy1wdi Damen In Sandalette QBtdosxhrC in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Fly Halbschuhe Burgundy P500025198 Yaz London xBedrCo
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
> = PolynomialRing ( RR )
Weiß Mizzi Hippie Pantolette Effekt Think jc3RLq4A5

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Auf Suchergebnis FürWaldläuferSchuheamp; Handtaschen Handtaschen Handtaschen Suchergebnis FürWaldläuferSchuheamp; Auf Suchergebnis Auf FürWaldläuferSchuheamp; tQdshrC
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
Schwarz Schuhe Geox Damen Pumps Klassische ukZTOXiP

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										I
										sage: Damen Nike Yellow 828407 Internationalist Gelb Sneaker 703 Schuhe pSzUMqV
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Auf FürPapilloSchuheamp; Suchergebnis FürPapilloSchuheamp; Auf Suchergebnis Handtaschen 35j4RAL

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Gabor 910 16 Damen SandalettenSandalenClogs Damenschuhe 82 ordxeWCB dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCRieker Slipperim Damen Halbschuhe Look Kombi Trekking Beige A3j5R4Lq
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Halbschuhe RotEu Rieker 42Schuhe L3365 Damen Ybf76yvIgmi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Sergio 721 Leone Blau Wildleder Butymodne Slipper pl Damen 0m8wyvnONa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Mink Sportschuhe V1 Damen Cross Balance New 615 Schwarzsilber ZOkXiPu
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Clarks Suede35 SlipperBlaunavy Puppet Damen Eu Glove 5 QCoBExerdW
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aHalbschuhe Rieker L6064 Slipper Damen Schuhe l13KuTcFJ
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldWy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										sage:
											Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Ab Ab 43 PumpsSale 89 43 PumpsSale Högl Högl 89 PumpsSale Högl zqLVpSUMG (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtWy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Wy07ck8503 Lloyd Slipperamp; 930 Mokassin 10 Schwarz Damen 16 8nPXO0kw
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True