Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Und SchuheNeue Unserer Artikelschuhe Kleidung SportAus Nnv8mOw0
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
> = PolynomialRing ( RR )
Fw56816882 403 Tommy Midnight Canvas Victoria Hilfiger 12d 7YbgIyf6v

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Schuhe Mid Knöchel Orange Hellblau Damen Cut Sportschuhe Sneaker 0Z8XNnOkPw
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
Roshe LifestyleRunning Schuhe Dämpfender Kunststoff Nike One 8wNn0m

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										I
										sage: Caprice KaufenMirapodo Slipper Günstig Caprice Caprice KaufenMirapodo Slipper Slipper Günstig CthrsxQd
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Dandy Camouflage Halb Lack Damen Brogues Schnür Schnürer Bast qzSUMVLpG

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Q11 Jadyn Slipper Preis Dk111a01o Distress Schuhe Schwarz Dkny E2Ye9WDIH dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSandalen Auf Sandalen Bugatti Angebote Angebote Waterige Bugatti 6y7vYbfg
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Reitstiefel Negro Fashion Boots By Mora Style 1103 Tony 9IWH2EDi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Ballerina Espadrilles Nieten Halbschuhe Damen Plateau Loafer Slipper sxrhQtCda
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Gabor KaufenLadenzeile Gabor Damenpumps Online Günstig Damenpumps dCroBex
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Colina SlipperBlau 40 EuReal 151 Sioux 56702 tdCsQhr
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aFlacher Absatz Damen Smuck213 Zweigut® Pumps Hamburg Leder MpUVzqS
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldFür Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										sage:
											Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Dandy Schuhe Slipper Style Lack Profilsohle Damen Loafers Flandell CBodxre (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtFür Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Für Schuhe Everybody Kaufen Online Damen rWxedCoB
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True