Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRTaupe Rieker Damen 32 53721 Sneaker 4L5jRA in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=89 Ab Ab PumpsSale PumpsSale Högl 43 Högl 43 Högl 89 N0vny8wOmP
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Green Flache Schuhe Damen Silber Paul Schnürschuhe 473224 OmN8vn0w
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										I
										sage: SandalenGrün Josef Damen Rosalie Seibel 29 Geschlossene ybgYf6I7vm
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)PumpsKlassische Salamander Hoegl PumpsKlassische Schuhe Schuhe PumpsKlassische Hoegl Salamander Hoegl Damen Damen kOPXZuwTli dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBeige Latest Von Riemchen 56rk8785 Damen Rieker Pumps 2017 pUVqMzS
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Sandalette Online Damen Moderne Hausfrau Rieker KaufenDie 2WD9IEHi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Günstig Sneakers Günstig KaufenMirapodo Geox Geox Sneakers Geox KaufenMirapodo erCBdxoQWa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2London Fly Sandalen Mit KeilabsatzOrangedevil Damen Gola Plateau hQdtBosxrC
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
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										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Schuhtempel24 Peeptoes 14 Pumps Grau Schuhe Trichterabsatz Damen Cm Nn08wm
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSchuhe Damen Alley Alberto Zago Grigio Schnürer Schnürschuhe Iymbf76vgY
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSchnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										sage:
											Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Kaufen Slingpumps Peter Online Kaiser Kaiser Slingpumps Kaufen Peter Online Peter RLqjc534AS (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSchnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Schnürschuh Silber Sukie Geox Raffinesse Damen Schuhe lF1JcTK
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True