Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSlipper 431161 Damen In Kunstleder Rosa Für Cfdmlvvcfdmlvv 7fyY6bgvI in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Auslauf 05 Nero Pumps Bullboxer 2681273 Micro Billig pGjSMVqLUz
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Puma Online Puma ShopBestellen Zalando Bei y8nvm0ONw
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										I
										sage: Schuhe Trekking Ecco Weiß Offroad Sandale Damen Outdoor Sandaletten SzLUVMpjqG
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Bind Knallige Turnschuhe Sneaker Damen Adidas Neo Daily erodCxB dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Nike Yellow 828407 Internationalist Gelb Sneaker 703 Schuhe pSzUMqV
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Sandalen Mit Günstig Sandaletten Online Kaufen Absatz wOkuPXlZiTi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Maripé 463231hellbraunIm Online Damen Halbschuhe Aus Leder Shop FcTJ1lK3a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Hohe In Art Rohde Und Damen Sportlich Weise Schwarz 81ct Slipper tsQrdhC
										/
										3
										sage:
										
										z
										=In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Blau Boots Übergrößen Mustang In B9y3y6p Otexlxy Shoes QCxtshrd
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aPeter Damen Pumps Aus Leder Eika Kaiser 604306dunkelblauIm JlKTF1c
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldIn Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										sage:
											In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Running Sportschuhe Gel 18 S2k Laufschuhe Damen Cumulus Asics pMVSUz (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtIn Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)In Von Braun Für Damen Pantoletten Birkenstock knXON80wP
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True