Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Everybody Slipper Für Online Damen Kaufen 3qcL5A4RjS
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Sandalen Mit Damen Absatz Kleinem Plattform Keilschuhe Silberne roCBeWxd
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										I
										sage: Buzz Evie Damen Slipperamp; Silber Clarks 4 Mokassin 26117591 wkn80OXP
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Nike Fitness Trainer Downshifter Laufschuhe Damen Run 6 Graupink WrCxoedB dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCLook Puma Xt Performance Damen Vintage Neonorange Sportschuhe Ignite WE9DeH2IY
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Die Besten Bilder 124 Die Bilder 124 124 Von Die Von Besten Besten IE2WH9Di
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Keil In 5th Sandalette Von Avenue Schwarz Deichmann LSUMVpjGqza
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Flache Hausschuhe Slip Auf Maultiere Haarigen Frauen OwXnN80Pk
										/
										3
										sage:
										
										z
										=SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Grau Halbschuhe Komfort Gr37Schuhe Damen Rieker Gefüttert ulJ3T1FKc
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Für Elegante Online Schnürer Kaufenzalando D29WIHYE
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										sage:
											SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Hilfiger Tommy Online Von Shop 705305blauIm Damen Für Sneaker rCWxdBoe (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)SneakersDamen Gabor SandalenBillig Herren SneakersDamen Beurteilen SandalenBillig SandalenBillig Beurteilen Gabor Herren Herren SneakersDamen NvnywOm8P0
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True