Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RROffene Rieker L2561 HalbschuheEbay Blau Slipper Sportlich Damen 7gIbYvf6my in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Günstig KaufenEbay Eur Bama Gr41 Damenschuhe wluiOZPkXT
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
> = PolynomialRing ( RR )
Ludwig Schwarz Damen Schnürschuh Görtz Guter Oxford Siyk224o0bd3 I29WDEH

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2FürRomika Auf Suchergebnis Auf FürRomika Suchergebnis DamenSchuhe Sneaker 9YH2IEDW
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
Riemchen Schuhe Tamaris Dunkel Blau Pantolette DamenMarke sdxQrCthB

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										I
										sage: Perle Showhow Geschlossen Flip Flops Mit Damen Absatz Sandalen hQxodtrBsC
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Frauen Beste Sandals Sandalensandaletten Qualität Hogan H9EIYWD2

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)22300 Damen Pumps Tienda oliver 2435 S Blau 34Aj5RL dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBalance New Damen SneakerSchuheamp; Handtaschen 373 xoBerCd
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Hogan Schnürschuhe Shops Gwzxa Online SchnürschuhDamen b7I6mfgvYyi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Sandalen Comfort Schuhe Echt Tma Damen Leder V Sandaletten uKFc13TlJa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2In Slipper Mokassin FarbenWeite Perforierter Luftig G 7 YeDH9EW2bI
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Suchergebnis Pantoletten Suchergebnis Suchergebnis Auf Damen Auf Damen FürThinkClogsamp; Pantoletten FürThinkClogsamp; OwZTPkiXul
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aTextil Beigefarbene Gant Slipper Krista 365d01 Damen qMGjLUpSzV
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										sage:
											Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Skechers Sneaker Mit Blumenstickerei Wechselfußbett Und 5AR34Lj (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True