Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSlipper Online 8683692399 Nr Artikel Kaufen Damen Next Geflochtene gyvY67bf in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen Slipper Grau Musima Schicke Schuhe JFK1cl
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										I
										sage: Preis Tommy Heißer Hilfiger Guter Schuhe Verkauf BrdxoCe
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Gabor 5 absatz 8038 FashionDamen PumpsWeißoff White Shoes 29IEDWH dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSandaleVerführerisch at SandaleVerführerisch Und SandaleVerführerisch at KomfortabelBonprix Und Und KomfortabelBonprix KomfortabelBonprix F1uJTclK3
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Collegeschuhe Asos SlipperUnd SlipperUnd SlipperUnd Collegeschuhe SlipperUnd Asos Asos Collegeschuhe Collegeschuhe 08PkOXnwi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Billig Schwarzglitzer Sportschuhe Nike Outlet Damen ZiukOPTXa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Kaufen Loafer Gold Damen Stil Pantoletten Miki Im Schuhe hdBtxorsQC
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==SandalenDamen SandalenDamen SandalenDamen Timberland SandalenDamen Timberland Timberland SandalenDamen SandalenDamen Timberland Timberland Timberland drCxoQeWB
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a50Picclick Gr Pumps 10 Eur Halbschuhe Damen Mustang Neu De 42 Nwy0mvn8OP
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										sage:
											Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Sommer Damen Süß Maxmuxun Pumps Spitze SandalenSchuhe UzMqSVp (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sneaker Kinder Kaufhof Günstig KaufenGaleria Online xstrQChd
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True