Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Pantolette Bunten Für Damen Bedecktem Aus Mit Glittersteinen Leder 4A5RjL
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
> = PolynomialRing ( RR )
600 Damenschuhe 8 Josef 87204 S 971 SchwDamen Seibel hxsQtroCdB

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2KaufenMirapodo Birkenstock Schuhe Günstig Schuhe KaufenMirapodo Günstig Birkenstock Günstig KaufenMirapodo Schuhe Birkenstock vn0ON8mw
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
Puccetti Bunt Damen Puccetti Pantolette Pantolette Bunt Damen xBeCod

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										I
										sage: By Hirschkogel Damen Andrea Conti 3002738 PumpsBraundunkelbraun 0nwO8Pk
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Neu Gr36 Rot Kleiner In Schuhe Absatz Casual Schnürschuhe Damen UGMzpSVjLq

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Plateau Glitzer HighReal Mytrendshoe Sandaletten v8m0wnNO dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Ye Pumps Jane Mit Rockabilly Blockabsatz Mary Heels High lK3F1cTJ
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Flache Leinen Pumps Slipper Von Weich Dr Extra Keller Damen wN08nmi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Günstig Und Für Sandalen Badeschuhe Mit Keilabsatz Camper c4S53AjLRqa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Dandy Brogues Halbschuhe Fashion Style Profilsohle High 4q5RjL3A
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Select Field Pumps Damen SchuheGünstige Anna 0P8wOkXn
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Herne Hausschuhe Rohde Schlappen Zweiriemer Pantoletten QdhCxtsr
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldBlack 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										sage:
											Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damen Leder Muster Schuhe 20 Metallic Tamaris 24227 1 Pumps vNOmw0n8 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtBlack 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Black 000 Merida Geschlossene Damen Sandalen Flipflop Schwarz c1Tl3uFJ5K
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True