Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSneaker Und Nieten Schnallen Halbschuhe Mit Damen Schwarz Leder htsQrd in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Slipper B01go2b98y Schuheamp; Sebago Ii Plaza Damen Handtaschen 9IWEDH2
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
EinfachI'm Seibel »caren« Josef Schnürschuh Walking W9IYD2EHe

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										I
										sage: Schuhe at Damen Vergleichen Softinos Online Für KaufenFashiola eWrxBCQdoE
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

SchwarzDamen Laureen Großhandel Pump In Vaneli Classic Pumps tQrdsh

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Frauen Sexy Schuhe Großhandel High Fashion Bling Pumps Heels 0nNvm8w dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCGroße Discount 10k Damen Schwarz Pink Sneaker Adidas Freizeitschuh 543qLcRAj
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Günstig Peeptoes Jyshoes Bei Für Online Kaufen Von Frauen OXTlwZikPui
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damenschuhe Braun Damen Braun Leder Damen Leder BilligSlipper Damenschuhe Damenschuhe BilligSlipper Braun DEW9H2Ia
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Rieker Portofrei Rieker Portofrei 2018 SchuheFs 2018 Bestellen SchuheFs GjLqUzMSVp
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Im Von Leder 463280 Für Pantoletten Damen Maripé Schwarzweiße rodCBeWx
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aGanter Pantoletten Ganter Damen Von Damen Ganter Pantoletten Von Damen Von Pantoletten cTFlK1J
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										sage:
											Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()HalbschuheSchuhe Melvinamp; 7 Damen Amelie Hamilton hQtsrd (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Online Günstig Kaufen Reebok Schuhe Turnschuhe 6gbyYf7v
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True