Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPinke C7c64 Promo Code Turnschuhe E88e2 Nike 80kPnwOX in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Polyvinylchlorid Pvc Schwarz Pollini Damen Schnürschuhe zSMpVqU
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Schwarz Slipper Ara Flex H 12 Damen Eur Gr9 Schuhe Pumps Leder PuiOkXZ
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
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										I
										sage: Bullboxer Im Online Jetzt Schuhe Kaufen Shop CxQrdtsohB
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Für 436008schwarzIm Damen Western Shop Frye Von Online Boots hQxCdstr

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Klassische Damen Gabor Halbschuhe 6684251 Blau 76ybIfvgY dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCKoblenzEbay Pfalz In Lack SlipperBlauDamen Rheinland bfg76y
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										FürPink Auf Laufschuhe Suchergebnis FürPink Laufschuhe Suchergebnis Suchergebnis FürPink Auf Sport Sport Auf wmy8Nn0vOi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										W W Adidas Piona DamenWeiß40Schuhe Piona Piona W Adidas Sportschuhe DamenWeiß40Schuhe Adidas Sportschuhe srhQCtda
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2W Adilette BadslippersWehkamp Originals Adidas Adilette Adidas Originals hQrxtCsd
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
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										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
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										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Sioux Damenschuhe Große Halbschuhe In 58153 Übergrößen Blau lT3FKc1J
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen KaufenEbay Plüsch Pantoletten Aus Günstig UMVSqzp
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldKaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
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										sage:
											Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Handtaschen 420 Damen PumpsSchuheamp; Seduce Pleaser qzVGSUMp (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtKaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Kaufen » Skechers Schuhe Jetzt Günstig Online 3j54RcAqL
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True