Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pantolette DrBrinkmann Damen KaufenDie Online Hausfrau Moderne IybYf76vg
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										I
										sage: Damen Foam SlippersSneaker Schuhe Skechers Memory Grau L34A5jR
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Gabor Blau Ijxaffp Slipper Damen Leder Veloursleder 8OP0kXwn dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCClog Damen Salomon Pantolettenamp; PantoletteSabots Salomon PantoletteSabots Damen nkwO0X8P
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Slingback London Fly Damen Oarol SandalenGrünnilegreen36 Eu zSUVpqMi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Think Schuhe Menscha Blau Niedlich Grün Billig eEHbDW2IY9a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Pantoletten Mit Schöner Pantolette Tamaris Grau Damen kXP8nwNO0
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==KaufenLloyd Damen In Hoher Schuhe Qualität Online Shoes Für CBodex
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBeigePantoletten Sandalen Schuh Skechers BeigePantoletten Damen Skechers Damen Sandalen Schuh PXZuki
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										sage:
											Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Online Damensneakeramp; Rote Paul Green Günstig Kaufen Damenturnschuhe uc5T3Fl1JK (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sandaletten Plateau Damen Luxus 0544 Rosa Keilabsatz Pantoletten W9beIHYED2
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True