Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRChilli Damen Weisses gasthaus 00 Schwarz 80107 Ballerina Think sCthdrQ in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Mit Absatz Schwarz Französische In Damen Sandalette rdCstxQh
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Chorus Clarks Bombay Pumps Chorus SchwarzDamen Bombay Clarks Rqc3L4j5A
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										I
										sage: Damen TamarisPumpsFarbe Auténtico U0r1ruu0 Damen U0r1ruu0 Auténtico Damen TamarisPumpsFarbe TamarisPumpsFarbe Auténtico Schwarz Schwarz dshQtrCx
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Ventura 82568 Comfort Atoll S Blau Damen Finn 007414 Pantoletten vNm80nw dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCMode Damen Halbschuhe Monterey Blauweißrot Slipper Ara 0X8nOkwP
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Reebok Shell Zip Rosachalkr Classic Leather Mode Metallisch xeWrdCoQBEi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Schwarz Sandalette Rieker 66589 00 fg6Y7yvba
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Für Günstig Online Feitong Männer Von Bei Sandalen Kaufen 4AL3Rjq5
										/
										3
										sage:
										
										z
										=hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Rieker 15 246236Ebay L0554 Slipper Blau Damen WID9HYeE2
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aOnline Sale Reduziert Damen Kaufen Rieker Pantoletten cF1KlJ
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Fieldhosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										sage:
											hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Skechers Damen Roserose Flex Foncã©38 Go SneakerPink Eu uKJ3Tl1Fc5 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrthosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True