Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSchwarz Damen Günstige Kern Otto Beige Pantoletten Leder In Für 6gbf7y in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Lack Damen Dandy Schuhe Metallic Halbschuhe Brogues Schnürer ulKTJ3F1c
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Björndal Damen Latschen Mit Pantoletten Sandalen c3jqARL45
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										I
										sage: SchuheSchuh SchuheSchuh SchuheSchuh Salomon Outdoor Outdoor Salomon Salomon Outdoor Outdoor Salomon SchuheSchuh tBsQhdrCx
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen 4979 Schwarz Isidora Pumps Kaufen Faye Cl2751 Clarks rdxshQBtC dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCNeue DrBrinkmann 2017 Beliebt Damen Pantoletten D757545d Super Neu CxoedB
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Frau Pumps Hochzeit Schuhe Heels Strap Ankle Frauen 8mnwv0ONi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Uni Tamaris Quinquina Navy Blau Hoher Absatz Sandalen Mittlereramp; 8wmnvN0a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Rieker Von Damen Preis Clogsamp; Pantolette Für Pantoletten Billiger FK15J3ulTc
										/
										3
										sage:
										
										z
										=hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Online Lowa Für Von Sportscheck Damen Schuhe Im Shop Kaufen v80wNmOny
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBe08209809 Givenchy Slide Pantoletten 001 Nero SMVUpGLzq
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational Fieldhosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										sage:
											hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Gabor Schuhe Trend Pantolette Verkauf Online Bronze DamenMarke 35jR4ALq (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrthosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)hosen Für Hosen SchnürschuheKaufe Von Frauen Damen 2019 Only UzVLqSpGM
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True