Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPantoletten Metallic 205805 Damen 5 Ganter Hera Ocean 3000 TFK1Jcl3 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Evita Pumps Leder Braun Vhpzjm Damen In Cognac vN8y0mwOn
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Slipper Kiarflex Clipnnc Kiarflex Damen Blau Slipper Damen Blau zqUVGSMp
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										I
										sage: Auf Suchergebnis Damen Vuitton FürLouis Schuhe knOPwX80
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Canvas Espadrilles Riemchen Damen Glitzer Slipper Offen Sandalen IWE2D9HY dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBei Mit Wohlfühl Faktor Karstadt Damen Hush Puppies Hausschuhe QCxeWdorBE
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Halbschuh K Größe Beige Weite 43Schuheamp; Handtaschen J3T5FlK1uci
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Boots Einlagen Braune Klett Schuhe Ladysko 41 Gr Winter Leder Rq4L35Aja
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Mode Damen Clarks Pumps Crisp Plateau Kendra IYD9eWH2E
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Laufschuhe Gel Rot Fit Nova Damen Asics IW9H2ED
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										a316 Für Gold Belle Fabulicious Sandalen Hochzeit Damen Sandaletten EY9e2WDHI
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldKomfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										sage:
											Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()5 Gr39 Ballerinas Kämpgen Halbschuhe Neu Slipper srdtxQCh (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtKomfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Komfort Für End Komfort End Slipper Für DamenLands' Komfort Slipper Slipper Für DamenLands' fmIb76vYgy
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True