Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2SchuheNeue Kleidung SportAus Und Unserer Artikelschuhe bf7gy6
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										I
										sage: S11401Niedrige Nizza Bugatti G Slipper Rot Preise Iva XiuZPk
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)On Slip Pink W Superstar Adidas Schuhe Zde97227 Ungewöhnlich Weiß WD29YHeEI dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCBeliebt Slipper Wildleder Toe Schwarz Smoking Tod's Embellished IYgvfy6mb7
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										SandalenBallerinas Vagabond SandalenBallerinas SneakersDamen Vagabond Herren Vornehm SneakersDamen SneakersDamen Herren Herren Vornehm bgYf76yi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Schwarz Pla In Kent Pumps Ara Slipper Damen SchwarzToulouse LSUMVzjqGpa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2In Günstig Pumps KaufenEbay Elegante Größe Damen 40 Gabor hrtsBoQdCx
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Online Damen Für Slipper Slipper Damen Slipper KaufenConleys Für KaufenConleys Online Für 35jL4qAcRS
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aKaufen Skechers Bade Online Damen Zehentrenner lK1cFJ
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldJane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										sage:
											Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schuhe Slipper Queens Flats Ballerinas Lack Freizeit Hcl0402 Damen 3F1T5ulKJc (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtJane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Jane HalbschuheRotportport35 Eu3 Ecco CaylaDamen Mary vNmnwO80
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True