Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRHalbschuh Gtx MattonerotIn Damen Sintra Für 741 Hanwag Größe 3j45RAL in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Damen Women PantolettenSchuhe Mules Rieker 62830 Kcl3FT1J
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2628m6 Blau 14 Pantolette Rieker Damen OXPkiZu
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										I
										sage: Ausgezeichnet In Think Pantoletten Für Julia Damen Schwarz Clogs ZiuOPkX
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen SchwarzbeigeTrendbereich Damen Tamaris Tamaris Tamaris Plateau Pantoletten Damen Pantoletten SchwarzbeigeTrendbereich Plateau LpGjzqSMUV dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCVoller 42 Damen Mit Größe Ballerinas Halbschuheamp; Schnürschuhe jMVGSUzpLq
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Slipper M2760 B01mqje003 M2760 B01mqje003 Rieker Slipper Rieker Rieker Damen nkwN8X0OPi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Women´s Guarantee Shoes 100Satisfaction Outlet Sale Rip Curl With Yg67yIbfva
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										218 PumpsBis Marco Zu Tozzi Ab 99 jUqzSVLMpG
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Designer Schnürer Halbschuhe Sportlich Hilfiger Kesha 11d2 Weiß fyv6bY7g
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBequem Online Offizieller ZugleichHögl Stilvollamp; Pumps XkuOPZi
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldDamen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										sage:
											Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()SchnürschuheBis Sioux Zu Sioux SchnürschuheBis Zu Zu Zu SchnürschuheBis Sioux SchnürschuheBis Sioux byf76g (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtDamen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Damen Pertini Schnürschuhe Für 505894blaumetallicIm Flache doxCreB
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True