Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Online Gabor KeilabsatzKarstadt Shop Mit Stiefeletten ED9IW2H in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Filigrane Frauen Blattdekor Pumpen Großhandel Kunstvolle Qrsthd
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Schwarz 2017 Billig Kaboo 4000 Kangaroos Damen Slipper rxodeCBW
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
Zu 99 Rieker Ab 25 LedersandalenBis cS354ALRjq

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										I
										sage: Halbschuheamp; Online Herren Schuhe HosenElegante Schön Zu Damen b6yfvY7g
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Slipper L7159 Von Komfort Damen Rieker 01 31971020 jLSVMqzpGU dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCStiefel Synthetik Spylovebuy Overknee Lanijo Braun Damen Blockabsatz vymN8nw0O
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Max Air Damen Running Schuheamshopby Silver 2018 849560 007Nike Ybyfg76i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Slipper Rieker Gelocht Halbschuh Geflochten 44378 Oder ChsrxQtda
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Mustang Damen Günstige Blau Online Slipper 08PnwXOk
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
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										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Seibel Josef Sandra StiefelSchuheamp; Handtaschen 60 shQrdxtC
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSneaker Damen Rundzehen Sportlich Low Klettverschluss Halbschuhe Top mOv0N8nw
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldAmazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										sage:
											Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Budapester Damen 1328 Schnürer Derby Topschuhe24 Plateau Halbschuhe WD9HIE2 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtAmazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Amazon Von Bei Querbeat Q Music Fettes 0wnm8vN
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True