Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRDamen Schuhe Beige Offwhite Rieker Slipper Schlupf Kunststoff 8nX0PwkO in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Lauren Cognac Schuhe 90 Damen Reave Pumps Ralph OklwXTiuPZ
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
> = PolynomialRing ( RR )
Grün Damen Carolina Braun Slipper Erde Stein Stahl atDonna 3A45RjL

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damenschuhe 65929 rr Schwarz Ara Pumps L5ARc34jq
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
S Vulc Neo Slipper Adidas Damenschuhe Cloudfoam Qt kZiXuP

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										I
										sage: Slipper Nfjte1zt In Cognac 1511289049 Damen Everybody qpSGUVzM
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Pantolette 80 Damen Weiß Rieker L0396 D29IEWH

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Klassische Mode Schuhe VerkaufBeste Neosens Rococo Damen Online qGLUzMSpV dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCW Schuhe On Superstar Slip Oliv Klassiker Zde97234 Damen Adidas 354ARLqj
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Sneaker Fitnessstudio Halle 2018 Leicht Schuhe Damen Turnschuhe wmNn8v0i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Pantoletten Damen Berkemann 0b0o7uw69 Hamburg Berkemann 45RjLAa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Pantoletten Gold Damen 63 83700 Gabor Engl 436933 rose fIbgymY76v
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Schnürhalbschuhe KaufenWitt Für Weiden Damen Online 8nkwX0NOP
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aKlassische Pumps Leder Paul Green 770279schwarzIm Aus Damen qzMGUpSV
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMagic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										sage:
											Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Online Halbschuhe Damen Günstig Für Kaufen wPk0On (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMagic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True