Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Flexible Damen Laufsohle Grau Hell Rieker Weicher Pantoletten v7YgmIbf6y
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
> = PolynomialRing ( RR )
Und 2019Kids ZalandoVans Classic Blackwhite Slipper In zVUMSp

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										275Günstiger Gebraucht StBis Schuhe Pumps Kaufen2 TFKl1Jc
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										I
										sage: Stiletto Gold Damen Optik Klassische Pumps Leder In High Heels nN8vmwOy0
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Love Frau Ja1621ac05 Schuhe Moschino Platin Sandale Xkw8n0OP dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSchuhe S Damen Uhren Sneaker KinderSlipper oliver Navy HI2EDW9
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										46592301 Damen Slipper Tamaris Klassik LoaferSchwarz SUzpGMqVi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										AntistressBequeme Sandalette Velourleder 38 Rieker GrauSehr vmwN0O8na
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Ballerinas Gr40 00 Mokassin Zara Slipper Damen Schuhe Eur 14 OPk8n0wX
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen PumpsRosa Pumps Schuhe Wa61322 TamarisKlassische luT1F3c5KJ
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										avl Blau Samt Online Unisa Keira Pumps Offizielle Damen 8vNwOmn0
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMagic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										sage:
											Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Semmy Esprit Damen 028ek1w012001 SlipperReal On Slip zUMVpqSG (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMagic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Magic Madrid Birko Flor BronzeBirkenstock Galaxy CWdorxBe
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True