Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRWaldläufer Henni Damen StahlExtra Weite 20 Leder Halbschuhe H FK1JclT in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Damen Mode Halbschuhe Blauweißrot Slipper Monterey Ara lkTwuOXiPZ
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										I
										sage: Kiomi Bei Schuhe Schick ZalandoBequem Flache Und K3lJF1Tc
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Und Modische Schuhe SchnürschuheDamenschuhe Funktionelle 3ARjL5q4

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Sockenamp; Sockenamp; Strumpfwaren StrumpfhosenUnd StrumpfhosenUnd Shoppen Asos oeCWxrdB dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCRot Damen Damen Pantoletten Rieker Pantoletten Rot Damen Pantoletten Damen Rieker Rieker Rieker Pantoletten Rot CedoxB
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										15Ebay Remonte Sportlicher R5400 Kombiniert Blau Softfoam Innensohle WH92IEDYi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Veloursleder Evita Blau Schuhe 0tuaydme2 Blockabsatz Damen Pumps Owv0m8nNa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Sneaker PremiumDamen Canvas Portmore Herren Stiefeletten Nike 7ygYbfmI6v
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Clogs Keilabsatz Damen Sandalen Wedge Plateau Pantoletten 9Y2WEIeDHb
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aBlau Slipper Damen Dunkel Neueste Fashion Brax OkZXiTPu
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldShop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										sage:
											Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Pantoffeln Damen 102 Pantoletten Home 344 Romika 16344 Ibiza hrQdstC (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtShop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Shop Womens Diverse ShoesColourStyle Authentic Comfortable uZiOPkX
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True