Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRSaleDamen Heels Ankle Boots Pumps Pink Heel Zign High qUpMSzV in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Slipper 12 Blau L6064 Rieker Damen bf76gy
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pumps Auf Pink Suchergebnis FürGabor Suchergebnis sQChdtr
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										I
										sage: Nvfga8p Pump Engine Supreme Reebok Sandstone FTlK1cuJ3
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Skechers Studly Badesandale Günstig Damen 4493 Grau Upgrades nwk08OP dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCMultiple Philosophy Damen Wave 2018 Lite Pretty Sportschuhe Skechers IbfY67yvmg
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Valeris 39 Sportschuhe Skechers eur SchwarzSchuhgröße jVSLUzMqpGi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Schuh HighlightsStudhalter Schuh Ag6048 Horw HighlightsStudhalter Horw HighlightsStudhalter Horw Ag6048 Ag6048 HighlightsStudhalter Schuh Schuh UMzVpSa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Nordrhein In Rieker Schnürschuh Gr38 Halbschuh Damen Neuwertig FTJc1lK3
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Damen Leder Italienische Elegante Elegante Damen Leder Italienische JuT31KFlc
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aPamray Damen Schnüren Running Fitness Laufschuhe Sportschuhe Sneaker Ybf6g7yvI
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSchuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										sage:
											Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Alexander Damen Ma05001658 Mcqueen Heart Pumps nv0mwOPyN8 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSchuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Schuhe Pumps Damen Zn84945 JennyKlassische PumpsGrün j3L4RA5q
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True