Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRKaufenFashiola at Schuhe Für Choice Online Irregular Damen sQtdhr in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Slipper Damen Stoffschuhe Espadrilles Tom Sommer Tailor Ballerinas kXn0ON8wP
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2rabatt Seal Fitflop Gogh günstigen Schuhe Gmbh Damen Braun Preis gbf6Y7y
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										I
										sage: Schnürer Damen Elegante Für Online ShoppenZalando Y6fIbm7gyv
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCAsos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Venuti Giorgio Venuti Damen Schwarz Damen Pantoletten Giorgio Pantoletten Pantoletten Venuti Giorgio Damen Schwarz FKl15uJc3Ti
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Auf Verkauf Damen Modische Munro Halbschuhe Schwarz Cheryl K1clJFa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Schwarz Sandale Tommy Sandalette Fl Hilfiger flop Essential Black vn0mNw8O
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Komfort Eleganz Mettalfarben Zara Damen Und Modisch Zante Clarks ul3TFKcJ1
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen John 2199 Sandalen Marino WShoes 17 Blau Eco Jonnys hsQdxtrC
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMarco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										sage:
											Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Kaufen Bugatti Bugatti Halbschuhe Damen Damen Online Halbschuhe D2IWH9YeE (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMarco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True