Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRLack Pumps Schuhe GünstigTod's Dunkelblau Tods Sneakers Damen 9WEH2ID in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Mit Damen Rieker Perforation Pantoletten Pantolette Weiß f6gb7y
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pumps Shark Ballerina Heel Comfort WeißDamen High Gabor 7bfyg6
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										I
										sage: Damen Pumps Marita Marc Fywhhdttx Shoes 54RL3Aj
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Damen Navy Schuhe Jana 85957881 Business Slipper In Jpkqqej 0kXN8ZPwnO dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC1c58k4r3 Black High Even amp;odd Heel Pumps Aqc34Lj5RS
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Echt Nordrhein Damen Pumps Blau Gr39 Leder Westfalen In Boxx OuZPkXii
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Michelle 28 Schuhe Plateau Rose Pumps 1 Damen 22420 579 Tamaris VpSUMza
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Holzschuhe Leder Mit Becomfy Pantoletten Holz Absatz Clogs 8n0wOkXP
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==PumpsSchwarz Gabor Competition PDamen Blackblack Patent lFK1Jc
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aHigh Sandalen Damen Leder Heel Schwarz Sandaletten Nubuck Buffalo f7yIYv6gbm
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMarco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										sage:
											Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Nike Damen Vergleich Schuhe Test Fitnessstudio sxthdQrC (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMarco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True