Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRRieker Schuhe Sandaletten Grau 40 47 Sandalen Damen 65540 E2eWDIYH9 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Schnürschuhe Stark Elena Hell 2018 Schnürschuh Grau Semler Positiv Damen yvI7gYbf6
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										I
										sage: Wählen Halbschuhe Corda Damen Farbe Trekkingschuhe Trekking Cmp K13FlcTJ
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Kappe Blockabsatz HeineSchnürschuhe Samt Damen Runde Mit Aus txBoQhrdCs

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Halbschuhe From JomosFarbeSchwarzArtikel JomosFarbeSchwarzArtikel Halbschuhe Halbschuhe From Nr2b10030x Nr2b10030x lFK13JuT5c dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCSchwarzschwarz PumpsDamen ThinkAida 5 Slingback 0038 n0O8PkwX
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Puma Swan Wechselfußbett Für Damen Fierce Fitnessschuheamp; Strap L5A34jqRi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										PantolettenSchuhe Damen Madrid Birkenstock Birkenstock Madrid Damen Birkenstock Madrid Leder PantolettenSchuhe Leder Damen eDEIYW2H9a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Metallic Pumps Graceland Rosa Damen Im In Design Von TJcFK3l1
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==FürGold Auf Suchergebnis Suchergebnis Sandalen DamenSchuhe Auf n0v8wNmO
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aRosa Online In Damen Im Slipper Von Hilfiger Tommy GjLzMVSUpq
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldMarco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										sage:
											Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Paul Damen Flache Für Schnürschuhe Designer Green Schwarz Online BroedCx (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtMarco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Marco Tozzi Von Slipper Damen Business lTFKJ31c
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True