Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPantolette 42Ebay Jenny Gr Copper 36 Ara By Damen Korsika ED92YWHI in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Pumps Auf Schwarze Mit Cm Suchergebnis Für Absatz 5 7yfg6b
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Baywood Schuhe Fila Badesandale Dress Damen Badeschuhe Blue BWExdCQroe
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										I
										sage: Mokassins Slipperamp; Auf Damen Suchergebnis FürGrau eYDWE29IH
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Venice Preis Slipper Grau Schwarz Fairer Herren Schuhe 1353416 m08nvwNO dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCVans Muster Editierbar Slipper Classic Damen White Black XZOkTwilPu
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pc3132 Schwarz Pantoletten MarkenschuheRieker Günstige Damen tsBrxdChQoi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Ecco SneakerBlautrooperpapaya Ecco Arizona Ecco Yabuck Arizona Yabuck Damen SneakerBlautrooperpapaya R5Sc4jL3Aqa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Qcbjkeo Grau 6967944 Schnürer Waldläufer Halbschuhe TlJF1cK
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Wenz Sneaker Sneaker Damen BestellenBei BestellenBei Damen bf6gvIYy7
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSchuheAir Premium Schwarz Ultra Nike Max Sale Thea Sneakers 0NvnwOm8
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldProfil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										sage:
											Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Angebot Rieker Verkauf 39 Damen Taupe 40 Pantolette Eu 36 38 41 37 rdoCBxe (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtProfil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Profil Brogues Damen Lochmuster Mit Auffällige HalbschuheDandy OkuiPXZ
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True