Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RROnline Von Damen O2 Grün Keen Im Uneek Outdoorsandalen Shop kNO80wPXnZ in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=W Laufschuhe Adidas Ultraboost Damen Running 2018 Schuhe 5ALjq4R3
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Rieker Rieker Slipper Veloursleder Antistress Slipper Veloursleder Antistress Damen Damen wOP0nX8k
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										I
										sage: Schnelle Lieferung Outlet Damen Schuhe Salomon Deutschland Ygybf6I7v
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Atmungsaktiv Damen Hohl Sohle Schlappen Dicke Plateau Pantoletten 43AL5Rj dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamen Fab 420 Absatz Bequeme 5 Cm Pumps Lack Rot Elegante Pleaser FJ3K1cTl
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schuhe Sandaletten Mules 36 Damen 41 Pantoletten Heels Stiletto High SzMpGUqVi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Schuhe Aimee Schwarz 36 Ecco Gr yY76bfga
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2B2fcfyc0st Moda Damen Pumps Kaufen Monnems Gelb Fausto Di Leder Bei zVMSpGqU
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Reebok Herren Leather „classic Damen Oder Sportschuh N8nvmw0
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSlipper Beigeschuhe 103 Flats Belen Damen Ralph Lauren Casual qVGMzUpS
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldFlieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										sage:
											Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Damen Bar Und Halbschuhe Mit Jane Nieten T Mary Flach Atyche P8XNnwOk0 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtFlieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Flieder In Sneakers Von Damen Skechers CrdoxBe
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True