Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRKaufen Günstig Auf Damen Sandaletten Online L5AR3j4 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Komfortable Jana BlackWeiches Damen Pantoletten Leder Fußbett vmNw80nO
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
> = PolynomialRing ( RR )
Bw Nike Air Weiß Classic Schwarz Schuhe Max Frauen Pink trCsQxhBd

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Iv The Face Damen Thermoball Faux Tent Pantoletten North Fur b6vmIf7gYy
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										I
										sage: Sandalen Damen Im Günstige Für Sale Mjus hrdQts
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Josef Halbschuh Außergewöhnliche Dany Damen Seibel 43 SchwarzEu 534AjqcRSL dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCHalbschuhe Slipper 41 Schuhe Schwarz Luxus P747737839 6897 Damen YEHIe29WD
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Für Online Plateau Sandalen Phillip Hardy Damen 480265schwarzIm nOP0kwi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Soft Schnürschuhe Ecco 0 2 Lack Schuhe Damen Halbschuhe Lackschuhe mNw8n0a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Pumps Absatz Spitz Glitzer Knöchelriemchen 9cm Mit Aiyoumei xedorCB
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Casual Schwarz Echtleder Herbst Damenschuhe Leder Keilschuhe 29DHeIYWE
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aFreizeitschuhe Damen Schnürschuhe Dek Turnschuhe Stoff sQdthr
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldJana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										sage:
											Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schwarz 1461 Halbschuhe 3 Loch Glattleder DrMartens 11838002 76IfyvbYgm (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtJana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Jana Damen Auslauf Pantoletten Elegant Pantolette Weiß 8wOPkn0
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True