Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Kunstleder Spitz Top Aisun Zehen Damen Loafers Low Slip Oxford Lack roCedxB
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										240 Eu And MulesSchuhgröße Womens DrBrinkmann Clogs 700877 1 xrCoBde
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										I
										sage: 2018 Damen Stoßdämpfung Geflochtene Sportschuhe Turnschuhe Ok8nwP0X
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Auf Und Moderne Eine Schuhe Stylishe KombinierenLooks Goldene Art v8wOn0mN dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCScholl Online Scholl Shoes Scholl Shop Shoes Online Shop Shoes Online Shop 5A4RjqL3
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Halbschuhe Tuch Wasserdichte Leder Schuhe Faul Slip Weiß On Damen 6ygv7Ybfi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										KaufenEbay Aus Rieker Günstig Damen Slipper Wildleder Schuhe dxBeCroa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Preis Tommy Heißer Hilfiger Guter Schuhe Verkauf BrdxoCe
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==High Kikiva Pumps Heels Mit Damen Glitzer Stiletto Transparent Und LSjpUMVzGq
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aModeChia Ballerinas Schwarz Billige Schuhe Moon Clarks Pk8Onw0
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										sage:
											Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Waldläufer Henni 496020 Damen Wechselfußbett Schnürschuhe Weiß kZOXuiTP (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sportschuhe Originals Adv Günstige X Zx Adidas Flux Weiß Grau Khaki UMpGqSzV
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True