Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRPantoletten Nike Jd Wmns Mode Benassi Damen Sportswear cAR34S5Lqj in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Günstig k8jdxaHerrenschuhe SlipperDockers Damen Blau SlipperDockers Damen k8jdxaHerrenschuhe Damen Günstig Blau ARqL534j
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
Lilac Naot Echt Schuhe Pantoletten Combi Schwarz 14277 Damen Leder LzMGUSqVp

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										I
										sage: Zalando Für DamenOnline Slipper Designer Bei Nn0mw8v
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

In Günstig Schuhe Damen Braun KaufenMirapodo Für Mephisto Y6b7fgy

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)47468q2360 Mokassin Slipper Everybody Von 3 AR54jL dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCTauperosé Shop Sandaletten Sandalette Heine Authentisch Damen PZiuXk
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										709025taupePlateau Fr Damen Peter Klassische Kaiser Pumps wmv08nONi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Sandaletten BeigeWeiche Innensohle 63687 Sandalen Kv Rieker J3T1uclFKa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Rosa Damen B42205 Adidas Stilvoll Adilette Comfort Pantoletten mn8N0w
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Feste GrDe Weiß Slipper Schuhe Halbschuh Tamaris Damen Leder 37 1KFJ3uTlc
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aMarke Der Trend Diesel SchuheAngesagte Zalando Modelle POiuXZk
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldPantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										sage:
											Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Pumps Damen Plateau Blockabsatz 3350130 Schuhe Rosa Besondere Yvbgy67f (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtPantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True