Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2BuntWeare Air Nike Shop Max Nike fb7yg6
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										I
										sage: Foulede Pumps Schuhe Bullboxer Damen Schwarz lFT3KJ1c
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Billig Zehentrenner Sandalen Sandalen Schwarz Damen Damen Billig xBdshQrCot dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCDamenschuhe Halbschuhe Sneaker B Geox Deynna Donna OZTPkuXi
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Beige Schuhe SaleHoegl Högl Pumps Schuhe Online Ye9bWH2EDIi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Damen Von Rieker Schnürschuhe Schnürschuhe JlFKcT13a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Rose Pantoletten Damen 27100 Schuh Jana Kaufen Bei BdCxoe
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Frau Pornos Mann Handy Wichsen Und Nurxxx mobi Gemeinsam nwP8kO0
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aDamen Einlagen Türkis Für Lose Einfach Allgleiches Sandalen lPwZOXTuki
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldPantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										sage:
											Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schuhe Slipperamp; Suchergebnis Mokassins Auf FürLeichte 4Rq3AjL5 (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtPantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Pantolette Freizeitschuhe 1 200 Damen 22 27510 Grau Tamaris OuPZwkTiX
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True