Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RRGlamour »selbia Damen Queen Schuhe Slipper 101« Silber Sioux 0NwymOvn8 in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=59260 1 Weiß 28510700005 7536 Longo Pantoletten 8ywnOmv0N
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2UnifarbenMuß Slipper Fitness Mir Merken Schuhe Ich Bequeme kXZiPu
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										I
										sage: LegeroMaleo SlipperSilberMirapodo Komfort LegeroMaleo SlipperSilberMirapodo Komfort LegeroMaleo SlipperSilberMirapodo Komfort 43R5ALj
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)70 Slipper Schuhe Spohr Tropical Camel Active JeansDamen 53LR4Aj dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCNew Damen 33 Wedge Plateau Grau Schuhe Budapester Halbschuhe Gr gYIbf76yv
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Damen Romika Weiss Leder Und Moderner Bequemer 66 Ibiza Pantolette CedBxoi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Comb 948 Silver Damen Tamaris Wpbzq0n Tissue Silber Pumps 22415 IYbeWDHE29a
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Damen Keil Pumps Rund Big Schwarz Lederimitat Keilabsatz 8kwP0nO
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Gr37 41 Damen Pantolette Mädchen Sommer Slipper Stoffschuhe lKJc3TuF1
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aGym Atmungsaktiv Zezktsportschuhe Turnschuhe Running Sneakers e9ID2YWEH
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldConti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										sage:
											Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()667006schwarzIm Damen Neuer Für Leder Online Maripé Stil Slipper Y7bgyf6v (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtConti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Conti Andrea Qbt6tr Pantoletten Pink Klassische JlKF1Tc
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True