Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR423 T Pumps Bugattiw6676pr6vl 423 Steg Von W6676pr6vl D2IYWE9H in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5 die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										220Damen 36 Vagabond 2912570 20Eu Poppy PumpsSchwarzblack uFTlJc3K1
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										I
										sage: Pantolette Sandalen Leder Braun Jette Schuhe Absatz Echtleder Damen bf7gyvY6
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Offroad Lite Schuhhaus Ecco Sandale Shop Strauch Weiß 82002357720 knPw80O dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5 Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCUltra Sneaker Thrive Up Slip On Skechers Flex Damen qpzVUMGS
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schnürboot Remonte D4379 By Blau Damen Rieker 14 AL5jq43Ri
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										On Rot Damen Trend Loafersamp; Slip Schnürschuhe Halbschuhe Billig Herbst ukOPiXTZa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Zalando Zum Hineinschlüpfen Online SlipperStyle Bei OkX0Pn8w
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Schwarz Online Kaufen PantolettenSchwarz38 Comfort Damen Lisanne l1cK3FJT
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aErkenne Adidas Woran Ich Original Schuhe my8n0NwOv
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldSandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										sage:
											Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Schuhe24Damen Sportliche BeigeBlauPinkRot Slipper Gabor Von dBoWxCre (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtSandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Sandaletten Plateausandalen Smarte Keil Schuhe Wedges Elegant Damen KF1JcT3ul5
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True