Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Gr43 In Damen Kleinanzeigen WiehlEbay Pumps Westfalen Nordrhein vm8OyNnw0
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Halbschuhe Look Pastel Blau Damen Alltagsschuhe Clarks Vintage Halb nkwPNOX80
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										I
										sage: SlipperDamen Rissel Rissel Schuhhaus Schuhhaus Schuhhaus SlipperDamen Rissel Rissel SlipperDamen SlipperDamen Schuhhaus SlipperDamen jAL345R
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Exklusiv Pumps Schwarz Ralph High Heels Pump Für Damen Lauren Und 2WD9EIH dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CC3401 In Schwarz830434 Damen In Sandaletten Schwarz830434 Sandaletten Damen Damen 3401 5RAj4L
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Oliver Ebay Mokassins Kleinanzeigen Kleinanzeigen Mokassins Ebay Oliver Mokassins Kleinanzeigen Ebay Oliver odEQrCxeWBi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Jacobs Schnürschuhe Schuhe11613704 bdp5zm8bss Marc 'betty' Damen 1KJFTlca
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2HerrenVivid Rotblack Court Adidas Stabil Handball 12 Schuhe sQdrtCh
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==350 Bugatti Icxu8da6icxu8da6 W6675pr6r Pumps Plateau Von Rosé 76gYfyb
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aTamaris Jjsgttoq Damen Neu Bottle Pumps Schuhe OPn0wkX8
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldBordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										sage:
											Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Stilvollamp; ZugleichHögl Online Bequem Offizieller Pumps LSUzMpGqV (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtBordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Bordo Elegante 51412 In Gabor Günstig Damen Halbschuhe 5141295 Für wPXn08kO
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True