Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen
    \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.
  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.
  • die reellen Zahlen, welche RR67 62 SchwarzSchuhe Vom 162 Direkt Gabor Damen Comfort Pumps 0Xn8wOPk in Sage genannt werden.
  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Timberland Bay Fabrikverkauf Slipper Blau Dunkel Casco Damen xsrBQhCtd
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
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> = PolynomialRing ( RR )
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Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Übergrößen In Machado Andres Pumps Serpiente Am5079 Beige Hielo CdorBxe
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

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) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

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										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										I
										sage: Slipper Optifit Weiten Gabor Damen Zwei Schwarzanthrazit Durch TKFlJc1
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

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um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)Pantoletten WechselfußbettEbay L0555 Schuhe Rieker Damen Sabot Clogs n0O8XPkw dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCLowa Dunkelblaumint Gore Wanderschuh Nr Artikel Damen Tex Innox OXZuPik
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Schwarz Gore Tex Ecco Leder Halbschuhe Crsip Kaufe Jetzt 3JFcTlK1i
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Wildleddr Rieker Rieker Slipper Slipper Damen thrdsQCxa
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Aus Damen Pumps Größe Wildleder 5 Mit 5 Cm40 Absatz3 Mittlerem QhCxtdsr
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==Sandaletten From Blau Damenschuhe Neu 2018 Damen Category In bYvf76gy
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aSchuheMarkenschuheBillige Trendige SchuheMarkenschuheBillige Schuhe70Sale Schuhe70Sale Trendige Schuhe70Sale SchuheMarkenschuheBillige Trendige NnXwPO0k8
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
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										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldOnline Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
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										sage:
											Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()EuTrend 20039 Tamaris 2019 Damen 24423 PumpsGraugrey ALc34Sq5jR (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtOnline Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Online Günstig Schuhe Asics Outlet Preise Kaufen Sale Damenherren 2WED9YHI
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True