Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

										
										sage:
										
										ratpoly
										.<
										t
										>
										=Mary Chie Art HalbschuheGrisdalba Damen Mihara Jane Asfalto b6gfY7y
										PolynomialRing
										(
										QQ
										)
										sage:
										
										realpoly
										.<
										z
										
Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
> = PolynomialRing ( RR )
Damen 37 Pumps Gr Jana Weite Glitter H Navy 8wZOPkNXn0

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

										
										sage:
										
										factor
										(
										t
										^
										2
										-
										2Pantolette Pantolette Schuhe Pantolette Pantolette Schuhe Schuhe DamenVital Pantolette DamenVital DamenVital DamenVital Schuhe R4c3j5ALq
										)
										t^2 - 2
										sage:
										
										factor
										(
										z
										^
										2
										-
										2
										

Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ

) (z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
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Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome , und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra .

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I . Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										
										sage:
										
										i
										# Wurzel von -1
										Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										I
										sage: Schuhe Rose FisterraEspadrilles Damen Marco Tozzi YfgIby76v
										i
										in
										QQ
										False
									

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

Schwarz Schuhhaus Evolution Pantolette Active Shop Camel Strauch kXPuTilwOZ

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\)2017 Textil Damen Extrem Sneaker Mesh Authentisch Fight Billig Sport 3AL4Rjq5 dar, es ist jedoch eine formale oder symbolische Quadratwurzel von \(-1\). Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 , gibt die komplexe Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

										
										sage:
										
										i
										=
										CCFür Basar 4 Damen Page Kaufen Billig Halbschuhe Günstig qpzVUMGS
										(
										i
										)
										# komplexe Gleitkommazahl
										sage:
										Pumps Auf Kaufen Online Damenschuhe Tamaris f7vY6ybgi
										==
										CC
										.
										0
										True
										sage:
										Damen Slipper Grau Musima Schicke Schuhe JFK1cla
										,
										b
										=
										4
										/
										3
										,
										2Spangenpumps Damen Tamaris 2018 Für Pumps Schwarz eCxodB
										/
										3
										sage:
										
										z
										=Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										
										a
										+
										b
										*
										i
										sage:
										
										z
										1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
										Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										sage:
										
										z
										.
										imag
										()
										Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										# Imaginärteil
										0.666666666666667
										sage:
										
										z
										.
										real
										()
										==22132 20 Dunkelblau Halbschuhe Online Tamaris 1 Damen 6Yf7gybv
										a
										# automatische Umwandlung vor dem Vergleich
										True
										sage:
										
										aAußergewöhnliche Taupe Rieker 53754 Damen 64 Ist Slipper Dieser In uPZXOki
										+
										b
										2
										sage:
										
										2
										*
										b
										Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										==
										a
										True
										sage:
										
										parent
										(
										2
										/
										3
										)
										Rational FieldAsos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										
										sage:
										
										parent
										(
										4
										/
										2
										)
										Rational Field
										Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										sage:
											Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										
										2
										/
										3
										+
										0.1
										# automatische Umwandlung vor der Addition
										0.766666666666667Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										
										sage:
										
										0.1
										+
										2
										/
										3
										# Umwandlungsregeln sind symmetrisch in SAGE
										0.766666666666667
									

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField()Klassische 4473405299 Damen Pumps Guess Goldfarben nmNwv80O (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

										
										sage:
										
										1.2
										in
										QQ
										True
										sage:
										
										pi
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										pi
										in
										RR
										True
										sage:
											Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										
										sqrt
										(
										2
										)
										in
										QQ
										False
										sage:
										
										sqrtAsos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										
										(
										2
										)
										in
										CC
										True
									

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

										
										sage:
										
										GF
										(
										3
										)
										Finite Field of size 3Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										
										sage:
										
										GF
										(
										27
										,
										'a'
										)
										# Sie müssen den Names des Generators angeben \
										....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
										Finite Field in a of size 3^3
										sage:
										
										Zp
										(
										5
										)
										5-adic Ring with capped relative precision 20
										sage:
										sqrt
										(
										3
										)Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos Asos 8Pkn0wONXZ
										
										in
										QQbar
										# algebraischer Abschluss von QQ
										True